Robbins was vooral bekend van het componeren van de soundtrack in een groot aantal Merchant Ivory films. Een kwart eeuw lang componeerde hij de muziek voor bijna elke film die werd gemaakt door regisseur James Ivory en producer Ismail Merchant, van The Europeans in 1979 tot The White Countess in 2005.

Gedurende deze intensieve samenwerking componeerde hij zowel voor historische- als hedendaagse films. Bekend werd hij vooral door zijn bijdrage aan A Room with a View (naar E.M. Forsters gelijknamige roman), waarvan de soundtrack van Robbins in 1997 genomineerd werd voor een Bafta. 

Zijn werk leverde hem twee Oscarnominaties op; in 1993 voor zijn soundtrack van Howards End, en het daaropvolgende jaar voor The Remains of the Day.