Het algoritme van Muhammad al-Khwarizmi

, Marnix Koolhaas

Het algoritme van Muhammad al-Khwarizmi

Marnix Koolhaas ,

Ons leven schijnt er inmiddels grotendeels door bepaald te worden. Het algoritme, vroeger alleen gebruikt in de geheimtaal van wiskundigen, lijkt als een geest uit de fles te zijn ontsnapt en kent ons dankzij mysterieuze berekeningen van megadata inmiddels beter dan wij onszelf. De angst groeit dat het algoritme het ontembare monster zal blijken te zijn dat de macht over ons over zal nemen. Met dank aan Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, de Perzische wiskundige die in de 9e eeuw de basis legde voor de moderne wiskunde en wiens naam in verlatijnste vorm (“Algorismi”) voortleeft in het monster dat vooral dankzij Facebook de privacy-discussie op scherp zet..

Het kán geen toeval zijn. Aanstaande dinsdag 24 april 2018 viert de Kharazmi-Universiteit (Kharazmi is de Iraanse spelling van al-Khwarizmi) in Teheran het honderdjarig bestaan met een groot congres over zijn naamgever. De internationaal beroemde Utrechtse hoogleraar in de geschiedenis van de Wiskunde, Jan Hogendijk, zal daar als enige Westerse spreker een lezing geven onder de titel “Recovering the scientific contributions of Khwarizmi”.

Standbeeld van al-Khwarizmi in zijn geboortestad Khiva, nu Oezbekistan

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

Over het leven van al-Khwarizmi is weinig bekend. Zijn ouders waren Perzisch en hij moet tussen 780 en 800 zijn geboren in de stad Khiva in de streek Chorasmië aan de zuidoever van het inmiddels grotendeels opgedroogde Aral-meer in het huidige Oezbekistan. De naam al-Khwarizmi betekent “afkomstig uit Chorasmië”. De regio werd in 712 door Arabische legers veroverd en geïslamiseerd. Met zijn familie verhuisde al-Khwarizmi naar een dorpje nabij Bagdad, waar hij studeerde aan het beroemde Huis der Wijsheid (Dār al-Hikma). In de islamitische wereld was dit de voornaamste plek waar de grote Griekse klassieke filosofische en wiskundige werken werden vertaald, veelal door christenen of joden. Tot halverwege de negende eeuw heerste er een vrij klimaat waarin de wetenschap op vele terreinen floreerde.

Muhammad al-Khwarizmi schreef zijn beroemdste werken in het Huis der Wijsheid tussen 813 en 833. Zijn grootste interesse betrof wiskunde, geografie, astronomie en cartografie. Hij introduceerde in 813 het gebruik van de Hindu-numerieke getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 0 zoals we die nog steeds gebruiken. Ook was hij schatplichtig aan de “oer-vader” van de moderne meetkunde, Euclides van Alexandrië (ca. 300 v.Chr.).

De door al-Khwarizmi ontwikkelde systematische methodes om met numerieke getallen lineaire en kwadratische vergelijkingen op te lossen leidden tot wat we “algebra” zouden gaan noemen, een woord afgeleid uit de titel van zijn tweede boek (“Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa’l-muqābala” in het Engels vertaald als “The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”). Van zijn eerste boek dat handelde over de rekenkunst is geen origineel exemplaar meer overgeleverd. We kennen het alleen nog middels een Latijnse vertaling uit ca. 1145 die geen titel draagt maar vaak vernoemd wordt naar de eerste zin: “Algoritmi de numero Indorum” (“De algoritmes van de Indische getallen”).

Zijn tweede boek werd rond dezelfde tijd in het Latijn vertaald onder de titel “Liber Algebrae et Almucabola.” Tot de 16eeeuw zouden beide boeken, die de Arabische cijfers inclusief het getal 0 in Europa introduceerden, het rekenkundig en mathematisch standaardwerk blijven op bijna alle Europese universiteiten. Pas in 1585 zou de Nederlandse wetenschapper Simon Stevin met “De Thiende,” waarin hij het gebruik van decimale breuken introduceerde, een nieuwe wezenlijke stap in de ontwikkeling rekenkunde zetten. Ook maakte Stevin, zo 750 jaar na al-Khwarizmi, definitief een einde aan het gebruik van de rekenkundig onhandige Romeinse cijfers.

Al-Khwarizmi schreef ook over de leer van ‘Restauratie en confrontatie’, waarmee het werken met kwadratische vergelijkingen werd bedoeld. Hij legt duidelijk uit hoe je elke kwadratische vergelijking kan herleiden tot een standaardvorm en hoe je elke standaardvorm kan oplossen.

Om zijn rekenkundige methode inzichtelijk te maken haalde Jan Hogendijk in een artikel uit 1998 een voorbeeld aan van Al-Khwarizmi:

“In een vergelijking als x2 + 8x = 39 – 2x (in zijn woorden: een kapitaal en acht wortels is gelijk aan negenendertig behalve twee wortels) wordt de term -2x (‘behalve twee wortels’) opgevat als iets dat ontbreekt. Mohammad ‘restaureert’ eerst dit gebrek -2x, hij krijgt dan x2 + 10x = 39. Hij tekent een plaatje met een vierkant x2 en daar aan vastgeplakt twee rechthoeken met zijden x en 10/2=5; de totale oppervlakte daarvan is x2 + 10x. Om hieruit een groter vierkant met zijde (x + 5) te maken moet je nog 5 × 5 = 25 toevoegen. Zodoende krijg je (x + 5)2 = 64, dus (x + 5) = 8. De conclusie is dat x = 3.”

(bron: Mohammad ibn Musa Al-Khwarizmi, door Jan Hogendijk – 1998: https://www.nemokennislink.nl/publicaties/mohammad-ibn-musa-al-khwarizmi/)

Al-Khwarizmi publiceerde ook over astronomie. Zo schreef hij een handboek met tabellen waarmee je voor elk moment in de tijd de stand van de zeven zichtbare planeten kon uitrekenen. Vooral astrologen gebruikten die tabellen om voorspellingen te doen en karaktereigenschappen vast te stellen. Ook verbeterde hij het astrolabium, het beroemdste sterrenkundige instrument uit zijn tijd.

Bekijk:

Science in a Golden Age - Al-Khwarizmi: The Father of Algebra (Al Jazeera, 2015)

https://www.youtube.com/watch?v=sAxWF_W6Q9w

debat

Al meer dan 200 jaar woedt er een wetenschappelijk debat over wat de vraag wat we precies moeten verstaan onder een algoritme. Dit debat kreeg in 1935 een geheel nieuwe dimensie door toedoen van de Britse wiskundige Alan Turing. Turing werd beroemd doordat het hem (met hulp van anderen) tijdens de Tweede Wereldoorlog lukte om de codes van het Duitse Enigma-codeermachine te ontcijferen. Maar al in 1935 had Turing naam gemaakt met een vraag waar hij zijn collega-wiskundigen mee uitdaagde: "bestaat er een algoritme waarmee kan bewezen worden of een wiskundige bewering waar is of niet?" Feitelijk was dat het moment waarop leken definitief afhaakten, en de mogelijkheden en onmogelijkheden van algoritmes in de handen van wiskundigen en computerprogrammeurs kwamen te liggen. Hel algoritme begon een eigen leven te leiden waar we de grip op lijken kwijt te raken. Twaalfhonderd jaar na de introductie van het algoritme door Muhammad al-Khwarizmi, de vader van de moderne wiskunde, is het algoritme net zo ondoorzichtig is geworden als de algoritmes die Facebook gebruikt om met onze privacy-gegevens miljarden te verdienen of verkiezingen te beïnvloeden.

 

Bronnen: De webpagina van Jan Hogendijk over Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

http://www.jphogendijk.nl/khwarizmi.html