De professionele carrière van Burgmans speelt zich in zijn geheel af bij Unilever. Hij begint in 1972 als marketing assistent bij Lever Nederland, voor het vaatwasmiddel Sun. Daarna vervult hij verschillende marketing en verkoopfuncties bij wasmiddelenbedrijven in Nederland, Indonesië en Duitsland. In 1988 wordt hij voorzitter van Unilever Indonesië. Drie jaar later treedt hij toe tot de Raad van Bestuur van Unilever, en krijgt hij de verantwoordelijkheid voor alle producten voor persoonlijke verzorging. In 1998 wordt hij vice-voorzitter Unilever N.V., en in 1999 voorzitter van de Raad van Bestuur van het bedrijf.
Naast deze functie is Burgmans lid van de Raad van Commissarissen van de ABN-AMRO, is het lid van de International Advisory Board van de Duitse verzekeraar Allianz en is hij Non-Executive Director van BP plc.
In 2003 kreeg hij een eredoctoraat in de rechtswetenschappen van de universiteit van Lancaster.